Scheduled talks for Analysis Seminar - Spring 2018

See the departmental seminar calendar for additional information.

The seminar meets at 3 pm on Mondays in Kassar 105 unless
otherwise indicated.

Jan. 24 (4pm,Wed)       Organizational Meeting

Jan. 29         Murat Akman (U. of Connecticut)
        A Minkowski problem for nonlinear capacity

Abstract: The classical Minkowski problem consists in finding a convex
polyhedron from data consisting of normals to their faces and their
surface areas.  In the smooth case, the corresponding problem for
convex bodies is to find the convex body given the Gauss curvature of
its boundary, as a function of the unit normal.  The proof consists of
three parts: existence, uniqueness and regularity.

In this talk, we study a Minkowski problem for certain measure, called
p-capacitary surface area measure, associated to a compact convex
set E with nonempty interior and its p-harmonic capacitary function.
If mu_E denotes this measure, then the Minkowski problem we consider in
this setting is that; for a given finite Borel positive measure mu on the
sphere, find necessary and sufficient conditions for which there exists a
convex body E with mu_E = mu.  We will discuss the existence, uniqueness,
and regularity of this problem which has a deep connection with the
Brunn-Minkowski inequality for p-capacity and Monge-Ampere equation.

Feb. 5          Bobby Wilson (MIT)
        Arbitrarily slowly decaying Favard length

Abstract: In this talk, we will discuss the concept of quantifying the
visibility of a planar set and its relation to planar geometry.  We will
present the classical theorem of Besicovitch characterizing regularity
of planar sets by the properties of their orthogonal projections which
can be extrapolated to a characterization based on what is known as
Favard length.  This will be followed by an exploration of a similar
characterization using approximations of sets in place of the original
sets we want to study.

Feb. 12         Linhan Li (Brown U.)
        Boundary value problems with unbounded leading coefficients

Abstract: In this talk, we will discuss the boundary behavior of solutions
of divergence-form operators with an elliptic symmetric part and a BMO
anti-symmetric part.  We will show that many of the classical results
about the boundary value problems with bounded coefficients hold for
these operators.  Our results will hold in non-tangentially accessible
(NTA) domains; these general domains were introduced by Jerison and
Kenig and include the class of Lipschitz domains.  When specialized
to Lipschitz domains, it is then possible to extend to these operators
various criteria for determining mutual absolute continuity of elliptic
measure with surface measure.

Feb. 19         No seminar (Long Weekend)

Feb. 26         Max Engelstein (MIT)
        An epiperimetric approach to singular points in the Alt-Caffarelli
        functional

Abstract: We prove a uniqueness of blowups result for isolated singular
points in the free boundary of minimizers to the Alt-Caffarelli
functional.  The key tool is a (log-)epiperimetric inequality, which we
prove by means of two Fourier expansions (one on the function and one
on its free boundary).

If time allows we will also explain how this approach can be adapted
to (re)prove old and new regularity results for area-minimizing
hypersurfaces.  This is joint work with Luca Spolaor (Princeton/MIT)
and Bozhidar Velichkov (Universite Grenoble Alpes).

Mar. 5          Irina Holmes (Michigan State U.)
        On an inequality for the dyadic square function

Abstract: In this talk we discuss the weak (1,1) sharp inequality for
the dyadic square function.  Specifically, we outline a new approach
via Bellman functions, inspired by an older paper of Bollobas.  The new
approach involves two Bellman functions to tackle the same inequality,
instead of the usual one.  Many of the properties of the two Bellman
functions are mirror images of one another, and their intertwined behavior
yields the sharp inequality.

Mar. 12         Svitlana Mayboroda (U. of Minnesota)
        Harmonic measure for lower dimensional sets

Abstract: The recent years have seen dramatic breakthroughs in
understanding of equivalence between scale-invariant analytic, geometric,
and PDE properties of sets.  In particular, boundedness of the harmonic
Riesz transform was proved to be equivalent to uniform rectifiability,
which further yielded necessary and sufficient conditions for absolute
continuity of harmonic measure with respect to the Hausdorff measure
on the boundary.  Unfortunately, the concept of the harmonic measure is
intrinsically restricted to co-dimension 1.  In this talk, we introduce a
new notion of a "harmonic" measure, associated to a degenerate linear PDE,
which serves lower dimensional sets.  We discuss its basic properties,
absolute continuity with respect to the Hausdorff measure on rectifiable
boundaries, new square function estimates.  The underlying analysis
can be extended to treat a new version of the fractional Laplacian on
Ahlfors regular sets.

Mar. 19

Mar. 26         No seminar (Spring Recess)

Apr. 2

Apr. 9          Loredana Lanzani (Syracuse U.)

Apr. 16         Oliver Dragicevic (U. of Ljubljana)

Apr. 23

Apr. 30

May 7