Scheduled talks for Analysis Seminar - Spring 2018

See the departmental seminar calendar for additional information.

The seminar meets at 3 pm on Mondays in Kassar 105 unless
otherwise indicated.

Jan. 24 (4pm,Wed)       Organizational Meeting

Jan. 29         Murat Akman (U. of Connecticut)
        A Minkowski problem for nonlinear capacity

Abstract: The classical Minkowski problem consists in finding a convex
polyhedron from data consisting of normals to their faces and their
surface areas.  In the smooth case, the corresponding problem for
convex bodies is to find the convex body given the Gauss curvature of
its boundary, as a function of the unit normal.  The proof consists of
three parts: existence, uniqueness and regularity.

In this talk, we study a Minkowski problem for certain measure, called
p-capacitary surface area measure, associated to a compact convex
set E with nonempty interior and its p-harmonic capacitary function.
If mu_E denotes this measure, then the Minkowski problem we consider in
this setting is that; for a given finite Borel positive measure mu on the
sphere, find necessary and sufficient conditions for which there exists a
convex body E with mu_E = mu.  We will discuss the existence, uniqueness,
and regularity of this problem which has a deep connection with the
Brunn-Minkowski inequality for p-capacity and Monge-Ampere equation.

Feb. 5          Bobby Wilson (MIT)
        Arbitrarily slowly decaying Favard length

Abstract: In this talk, we will discuss the concept of quantifying the
visibility of a planar set and its relation to planar geometry.  We will
present the classical theorem of Besicovitch characterizing regularity
of planar sets by the properties of their orthogonal projections which
can be extrapolated to a characterization based on what is known as
Favard length.  This will be followed by an exploration of a similar
characterization using approximations of sets in place of the original
sets we want to study.

Feb. 12         Linhan Li (Brown U.)
        Boundary value problems with unbounded leading coefficients

Abstract: In this talk, we will discuss the boundary behavior of solutions
of divergence-form operators with an elliptic symmetric part and a BMO
anti-symmetric part.  We will show that many of the classical results
about the boundary value problems with bounded coefficients hold for
these operators.  Our results will hold in non-tangentially accessible
(NTA) domains; these general domains were introduced by Jerison and
Kenig and include the class of Lipschitz domains.  When specialized
to Lipschitz domains, it is then possible to extend to these operators
various criteria for determining mutual absolute continuity of elliptic
measure with surface measure.

Feb. 19         No seminar (Long Weekend)

Feb. 26         Max Engelstein (MIT)
        An epiperimetric approach to singular points in the Alt-Caffarelli
        functional

Abstract: We prove a uniqueness of blowups result for isolated singular
points in the free boundary of minimizers to the Alt-Caffarelli
functional.  The key tool is a (log-)epiperimetric inequality, which we
prove by means of two Fourier expansions (one on the function and one
on its free boundary).

If time allows we will also explain how this approach can be adapted
to (re)prove old and new regularity results for area-minimizing
hypersurfaces.  This is joint work with Luca Spolaor (Princeton/MIT)
and Bozhidar Velichkov (Universite Grenoble Alpes).

Mar. 5          Irina Holmes (Michigan State U.)
        On an inequality for the dyadic square function

Abstract: In this talk we discuss the weak (1,1) sharp inequality for
the dyadic square function.  Specifically, we outline a new approach
via Bellman functions, inspired by an older paper of Bollobas.  The new
approach involves two Bellman functions to tackle the same inequality,
instead of the usual one.  Many of the properties of the two Bellman
functions are mirror images of one another, and their intertwined behavior
yields the sharp inequality.

Mar. 12         Svitlana Mayboroda (U. of Minnesota)
        Harmonic measure for lower dimensional sets

Abstract: The recent years have seen dramatic breakthroughs in
understanding of equivalence between scale-invariant analytic, geometric,
and PDE properties of sets.  In particular, boundedness of the harmonic
Riesz transform was proved to be equivalent to uniform rectifiability,
which further yielded necessary and sufficient conditions for absolute
continuity of harmonic measure with respect to the Hausdorff measure
on the boundary.  Unfortunately, the concept of the harmonic measure is
intrinsically restricted to co-dimension 1.  In this talk, we introduce a
new notion of a "harmonic" measure, associated to a degenerate linear PDE,
which serves lower dimensional sets.  We discuss its basic properties,
absolute continuity with respect to the Hausdorff measure on rectifiable
boundaries, new square function estimates.  The underlying analysis
can be extended to treat a new version of the fractional Laplacian on
Ahlfors regular sets.

Mar. 12         Dmitriy Bilyk (U. of Minnesota)
        special 5pm seminar, Kassar 105

        Uniform distribution, energy minimization, and other problems on the
        sphere

Abstract: We shall discuss several problems about points and measures
on the sphere, as well as connections between them, including relations
between discrepancy, energy minimization, tessellations of the sphere,
almost isometric embeddings etc.

Mar. 19         Ben Krause (Caltech)
        Discrete analogues in harmonic analysis: maximally monomially
        modulated singular integrals related to Carleson's theorem

Abstract: Motivated by Bourgain's work on pointwise ergodic theorems,
and the work of Stein and Stein-Wainger on maximally modulated singular
integrals without linear terms, we prove l^p estimates for maximally
monomially modulated discrete Hilbert transforms.  We also address the
issue of pointwise convergence of the corresponding ergodic theoretic
operators.

Mar. 26         No seminar (Spring Recess)

Apr. 2          Yumeng Ou (MIT)
        Weighted restriction estimates and Falconer's distance set problem

Abstract: In this talk I will introduce some recent partial progress
towards Falconer's distance set conjecture, by obtaining new weighted
Fourier restriction estimates.  The key ideas in our proof are the
method of polynomial partitioning and refined Strichartz estimates.
As application we also obtain improved spherical average Fourier decay
rates of fractal measures in the full range.  This is joint work with Du,
Guth, Wang, Wilson, and Zhang.

Apr. 9          Loredana Lanzani (Syracuse U.)
        On the role of integration by parts in the analysis of the
        Cauchy-Leray integral

Abstract: The Cauchy-Leray transform is a higher-dimensional analogue
of the familiar Cauchy transform for a planar curve.  By contrast
with the situation for the double-layer potential operator acting
on the boundary of a domain in Eucludean space R^N (or rather, its
complex-valued counterpart for a domain in Cx^n = R^2n, known as the
Bochner-Martinelli transform) the kernel of the Cauchy-Leray transform
is holomorphic (analytic) in the output variable z and thus is more
amenable to applications to complex function theory.  However analyticity
of the kernel puts a rather steep cost on the regularity and geometry of
the ambient domain, so the higher-dimensional results concerning, say,
Lebesgue space regularity of the Cauchy-Leray transform are valid in
more restrictive settings than the one-dimensional theory for the Cauchy
transform (the celebrated results of Calderon; Coifman-McIntosh-Meyer;
David etc).

A few years ago, the speaker and E. M. Stein proved boundary L^p-boundary
regularity, for any 1 strongly Cx-linearly convex domains whose boundary is "near" C^2-smooth
(specifically, in the class C^{1,1}).  Recently the same authors proved
that both assumptions (C^{1,1}-regularity and strong Cx-linear convexity)
are optimal by identifying two simple domains, each missing one of the
two aforementioned assumptions, for which regularity of the Cauchy-Leray
transform fails for any 1<=p<=\infty.  In this talk we will show how these
unbounded operators indeed arise as boundary values of the Cauchy-Leray
integral.

Apr. 16         Oliver Dragicevic (U. of Ljubljana)
        On generalized convexity of power functions

Abstract: We present a condition on accretive matrix functions, called
p-ellipticity, and discuss its applications to the Lp theory of elliptic
PDE with complex coefficients.  The condition arises from studying uniform
positivity of a quadratic form associated with the matrix in question
on one hand, and the Hessian of a power function on the other.

The talk is based on joint work with Andrea Carbonaro.

Apr. 23         Constanze Liaw (U. of Delaware)
        Finite rank perturbations

Abstract: Kato-Rosenblum theorem and Aronszajn-Donoghue theory provide
us with reasonably good understanding of the subtle theory of rank one
perturbations.  We will briefly discuss these statements.  For higher rank
perturbations, the situation is different.  While the Kato-Rosenblum
theorem still ensures the stability of the absolutely continuous
part of the spectrum, the singular parts can behave more complicated.
Nonetheless, some results prevail in the finite rank setting.

Apr. 30         Jose Conde Alonso (Brown U.)
        Calderon-Zygmund operators cannot be bounded on L2 with
        totally irregular measures

Abstract: We consider totally irregular measures on Rd, which are
measures whose lower density is zero at all points.  We will show that
if T is an operator defined with respect to such a measure and whose
kernel K(.,.) is the gradient of the fundamental solution for a uniformly
elliptic operator in divergence form associated with a matrix with Holder
continuous coefficients, then T is not bounded on L2.  This extends a
celebrated result proved previously by Eiderman, Nazarov and Volberg
for the (d-1)-dimensional Riesz transform and is part of the program
to clarify the connection between rectifiability of sets/measures on Rd
and boundedness of singular integrals there.  Based on joint work with
Mihalis Mourgoglou and Xavier Tolsa.

May 7           (canceled)